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MrAl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. April, 2002 - 13:55: | 
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}Hallo!!
Ich hab ein Problem, bitte um die Hilfe!
Einem Kreisausschnitt mit dem radius r=10 cm
und dem Mittelpunktswinkel alpha=60 grad
ist ein Rechteck grössten Inhalt einzubeschreiben. Bestimmen Sie die Fläche.
Die Extrembedingung ist A=a*b aber die Nebenbed.???}}
DANKE!!!}} |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 08:00: |
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Hi MrAl,
Deine Aufgabe erscheint in mehrfacher Auflage im Board.
Siehe z.B. die Anfrage von Romeo und meine Antwort darauf
vom 15.4.2002 ,17.11 Uhr.
Meine dort präsentierte Lösung ist eher konventionell.
Jedenfalls liegt die Ausnützung der Symmetrie auf der Hand:
wir betrachten und berechnen somit grundsäzlich die
HALBE Rechtecksfläche A = a.b
Du fragst nach der Nebenbedingung ;die Antwort lautet, wie
man meiner zitierten Lösung entnimmt:
a = wurzel(R^2-b^2) – b* wurzel(3)
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(ersetze in meiner Arbeit h durch b !)
Mit der Multiplikatorenmethode von Lagrange erhält man
leicht das frühere Resultat für a und b, welche zu
A max führt.
Bei Bedarf werde ich die entsprechende Rechnung vorführen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. April, 2002 - 08:45: |
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Hi MrAl,
Hier meine Antwort auf die Anfrage von Romeo,
der bis jetzt noch nichts von sich hören liess.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megmath
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Hi Romeo,
Der gegebene Kreissektor mit Radius R und Zentriwinkel
alpha = 60° beim Kreismittelpunkt M hat eine
Symmetrieachse s, welche durch M geht und alpha halbiert.
Diese Achse s wählen wir als x-Achse eines rechtwinkligen
Koordinatensystems (x,y) mit Nullpunkt O in M .
Die positive x-Achse schneidet den Kreisbogen des
Sektors in A; die Endpunkte des Bogens seien mit B und C
bezeichnet (B liegt im ersten Quadrant, C in vierten Quadrant).
Es genügt aus Symmetriegründen , dem im ersten
Quadrant liegenden halben Sektor (Zentriwinkel 30°)
ein Rechteck P1 P2 P3 P4 mit maximalem Flächeninhalt
einzubeschreiben.
Die Ecke P1 (x1/h) liegt auf dem Radius OB,
die Ecke P2 (x2/h) auf dem Kreisbogen BA
Die Ecken P3 (x1/0) und P4 (x2/0) liegen auf der x-Achse.
Beachte: P1 und P2 haben dieselbe y-Koordinate h,
welche die Rolle eines Parameters spielen wird.
Dabei variiert h im Intervall [0 , ½ R]
Empfehlung: Stelle die Situation in einer
massstäblichen Skizze dar mit
R = 10 , ½ alpha = 30°, h = 4.
Das rechte Intervallende h* = ½ R für h ergibt sich
als Abstand des Punktes B von der x-Achse:
h* = R sin 30° = ½ R
Berechnung der Seiten a , b des Rechtecks, wobei
a = P3 P4 = x2 - x1 und b = h gilt.
Für die Fläche Ades Rechtecks gilt dann A = a * b
1.
P1 liegt auf der Ursprungsgeraden g = OB
Gleichung von g : y = mx ,wobei für die Steigung
m = tan 30° = 1/ wurzel (3) einzusetzen ist.
Da P1(x1/h) auf g liegt, gilt
x1 = h / m = h * wurzel (3)...............................................(I)
2.
P2 (x2/h) liegt auf dem Kreisbogen k = BA
Gleichung von k : x^2 + y^2 = R^2,
Da P2 (x2/h) auf k liegt, kommt:
x2 = wurzel(R^2- h^2).....................................................(II)
3.
Mit (I) und (II) erhalten wir
a = x2 – x1 = wurzel (R^2- h^2) - h * wurzel (3) ;
mit b = h kommt für die Rechtecksfläche A:
A = a* b = h * wurzel (R^2- h^2) - h ^2* wurzel (3)...... (III)
Damit ist A als Funktion von h dargestellt.
Wir leiten A = A(h) mit der Summen-, Produkt- und
Kettenregel nach h ab; Resultat:
A´(h) =
wurzel (R^2-h^2)- h^2 / wurzel ( R^2-h^2) - 2 h wurzel(3)
Setzen wir diese Ableitung null, so entsteht nach einer
einfachen Rechnung eine Wurzelgleichung für h :
R^2 – 2 h^2 = 2 h wurzel(3) * wurzel ( R^2-h^2)
Durch quadrieren entsteht eine biquadratische Gleichung für h,
die in vereinfachter Form lautet:
16 h^4 – 16 R^2 h^2 + r^4 = 0 mit der einzigen brauchbaren
Lösung für h^2:
h^2 = ½ * R^2 – ¼* wurzel(3) * R^2
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Jetzt ist es Zeit, den gegebenen numerischen Wert R = 10
einzusetzen.
Wir erhalten der Reihe nach die Ergebnisse:
h ~ 2,588190
A max ~ 13,3974596
Um den maximalen Wert B der eingeschriebenen Rechtecksfläche
im Sektor mit dem Zentriwinkel 60° zu erhalten, ist A max zu
verdoppeln ; also gilt :
B ~ 26,795
°°°°°°°°°°°
Ende.
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