Autor |
Beitrag |
Tobias
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 17:59: |
|
Hallo an alle; Gegeben seien die Punkte A=(2;1;5) und B=(5;5;z), wobei A,B in der Ebene liegen. Die Richtung A nach B hat die grösste Steigung 3/5. Nun ist die Parameterdarstellung der Ebene gesucht, sowie z soll als funktion aus x,y (f(x;y)) angeben werden. Es wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen würde, Tobias |
Marten Sprecher (Marten)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 22:17: |
|
Ich denke mal das geht nicht denn, um eine Ebene aufzuspannen muss man drei Punkte oder zwei Geraden haben. In diesem Fall hast du gerade mal 2 Punkte die mit einer Gerade verbunden sind. Die Ebene kann also nicht aufgestellt werden, weil dir ein dritter Punkt fehlt. |
Kröte0815
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 00:20: |
|
ich denke mir das so: (falls "Steigung" heißt: bezogen auf x-y-Ebene) mit z=f(x;y) gilt wegen A: 5=f(2;1) und wegen B: z=f(5;5) => Steigungsdreieck hat Katheten Dz und Dxy mit (Dxy)² = (Dx)² + (Dy)² (bedeutet: die zur x-y-Ebene parallele Kathete Dxy des Steigungsdreiecks ist ihrerseits eine Hypotenuse im zur x-y-Ebene parallelen Dreieck mit Katheten Dx und Dy) wobei Dx= 5-2 =3 und Dy=5-1=4 sich aus der Differenz der x- und y- Koordinaten von B und A ergibt. => (Dxy)² = 3²+4² => (Dxy)=5 Steigung ist 3/5=Dz/Dxy => Dz = 3 z=1+Dz => z=1+3 = 4 => B=(5|5|4) ========== => Richtungsvektor der Geraden g durch A und B ist (3;4;-1) Wenn die Richtung A nach B mit 3/5 die größte Steigung haben soll, dann müssen alle anderen Steigungen von A aus kleiner sein als 3/5. Insbesondere ist dann die Steigung der Geraden, die durch B geht und orthogonal auf der Geraden g durch A und B steht, gleich Null (bezüglich der x-y-Ebene), weil sie parallel zur x-y-Ebene ist. Richtungsvektor dieser Geraden ist dann ein Vektor u, dessen z-Komponente gleich Null sein muss: u=(a;b;0) Es muss gelten: Skalarprodukt u*(3;4;-1) = 0 => 3a+4b=0 => b=-¾a => Richtungsvektor u=(a;-¾a;0)= a*(1;-¾;0) oder auch (4;-3;0) An dieser Stelle kann man schon eine Parameterdarstellung der Ebene angeben: E: (x,y,z) = (2;1;5) + r*(3;4;-1) + s*(4;-3;0) Der Normalenvektor n der Ebene muss sowohl zu diesem Richtungsvektor (4;-3;0) als auch zum Richtungsvektor von g orthogonal sein, Berechnung z.B. mit Vektorprodukt, n=(3;4;-1) x (4;-3;0) n = (3;4;25) Also ist die Normalform der gesuchten Ebene gleich 3x + 4y + 25z = d wobei d so gewählt werden muss, dass A und B die Gleichung erfüllen: d=3*2+4*1+25*5 = 135 => Normalform der Ebene: 3x + 4y + 25z = 135 => 25z = 135-3x-4y => z = f(x;y) = 5.4 - 3/25 *x - 4/25 *y ============================== |
Kröte0815
| Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 19:16: |
|
Kein Widerspruch heißt also, es stimmt? |
|