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Ano
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 10:03: | 
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Ein Dreieck ABC sei durch die Koordinaten seiner Ecken A(-3/3), B(6/0) und C(5/7)gegeben.
Berechnen sie die Innenwinkel dieses Dreiecks und die Winkel, welche die Gerade b (durch die Punkte A und C) mit den Koordinatenachsen einschliesst.
Welchen Abstand hat die Gerade a (durch die Punkte B und C) vom Ursprung?
HIIIILLFFE!!! |
Justin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Januar, 2002 - 13:41: |
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Hi Ano,
ich hoffe, dass das ganze hier einigermaßen verständlich rüberkommt.
Um die Innenwinkel zu bestimmen, benötigt man die Seitenlängen des Dreiecks.
Diese ergeben sich aus den Beträgen der Vektoren, die zwischen den drei Punkten verlaufen.
A = (-3;3)
B = (6;0)
C = (5;7)
Wie erhält man nun die Angaben zu den Vektoren?
Seite c = AB = B - A = (6-(-3);(0-3) = (9;-3)
Und genauso ergeben sich auch die beiden anderen Seiten
Seite a = BC = (-1;7)
Seite b = CA = (-8;-4)
Den Betrag eines Vektors errechnet man, indem man die Quadrate der Komponenten addiert und aus dieser Summe dann die Wurzel zieht.
|c| = WURZEL(9² + (-3)²) = WURZEL(90) = 9,4868
|a| = WURZEL((-1)² + 7²) = WURZEL(50) = 7,0711
|b| = WURZEL((-8)² + (-4)²) = WURZEL(80) = 8,9442
Mit diesen Seitenlängen kann man nun die Winkel berechnen.
Und zwar durch den Cosinussatz:
c² = a² + b² - 2ab*cos gamma
cos gamma = (a²+b²-c²)/(2ab)
Ähnlich verfährt man dann auch mit den beiden anderen Winkeln und man erhält letztendlich folgende Größen
alpha = 45°
betha = 63,4°
gamma = 71,6°
In der Summe ergeben die Winkel 180°, und den längeren Seiten liegen auch die größeren Winkel gegenüber. Stimmt also :-)
Nun zu den Schnittpunkten und -winkeln mit den Koordiantenachsen.
Man muss nun für die Geraden a und b einfach eine lineare Funktion aufstellen.
Da jeweils zwei Punkte gegeben sind, ist das sehr einfach.
Gerade a)
B = (6;0)
C = (5;7)
Die Ausgangsform einer lienaren Funktion lautet so:
f(x) = mx + n
Der Anstieg einer linearen Funktion wird so berechnet:
m = (f(x1)-f(x2)) / (x1-x2)
m = (0-7) / (6-5)
m = -7
Nun muss noch n - die Verschiebung entlang der y-Achse -
ermittelt werden.
Bei einem Anstieg von m=(-7) müsste die Funktion für x=6
den Wert f(x)=(-42) liefern. Der tatsächliche Wert aber ist
NULL. Also ist die Funktion um 42 Einheiten in positiver
Richtung verschoben.
Also ist n=42
Die Gerade a hat also die Funktionsgleichung
a(x) = -7x + 42
Das gleiche Spiel nochmal mit der Geraden b
A = (-3;3)
C = (5;7)
Ich erspare mir die ganzen Erklärungen jetzt.
m = (3-7)/(-3-5) = (-4)/(-8)
m = 0,5
f(-3) wäre -1,5, ist aber 3
=> Verschiebung um 4,5 in positiver Richtung.
n=4,5
b(x) = 0,5x + 4,5
Um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu berechnen, setzt man in beiden Funktionsgleichungen einmal x=0 und einmal f(x)=0
a(0) = -7*0 +42 = 42
=>Sy(0;42)
0 = -7x + 42
x = 6
=>Sx(6;0)
Die Gerade a hat also die Koordinatenachsen-Schnittpunkte (0;42) und (6;0)
b(0) = 0,5*0 + 4,5 = 4,5
=>Sy(0;4,5)
0 = 0,5x + 4,5
x = -9
=>Sx(-9,0)
Die Gerade b hat also die Koordinatenachsen-Schnittpunkte (0;4,5) und (-9;0)
Was die Schnittwinkel angeht:
wenn eine lineare Funktion die Koordinatenachsen schneidet, dann sind die Beträge der beiden jeweils kleineren Winkel an den Schnittstellen zusammen immer 90° groß. Hat einer der Winkel einen Betrag von 90°, dann ist die Funktion parallel zu einer der beiden Koordinatenachsen.
Der Schnittwinkel mit der X-Achse ist:
alphaSx = arc tan (m)
Für den Schnittwinkel mit der Y-Achse gilt dann:
alphaSy = 90° - |arc tan (m)|
Für die Gerade a ergibt sich daher:
alphaSx = arc tan (-7)
alphaSx = -81,87°
alphaSy = 90° - |-81,87°|
alphaSy = 8,13°
Also schneidet die Gerade a die Koordinatenachse X im Winkel 81,87° und die Y-Achse im Winkel 8,13°.
Für die Gerade b ergibt sich:
alphaSx = arc tan (0,5)
alphaSx = 26,57°
alphaSy = 90° - |26,57°|
alphaSy = 63,43°
Also schneidet die Gerade b die Koordinatenachse X im Winkel 26,57° und Y im Winkel vom 63,43°.
Nun zur Abstandsberechnung.
Gesucht ist also der Abstand der Geraden a vom Koordinatenursprung.
Dazu muss die Gerade h bestimmt werden, die vom Koordinatenursprung ausgehend senkrecht auf der Geraden a steht.
Die Gleichung für die Gerade a ist y = -7x + 42
Den Anstieg der Geraden, die nun senkrecht auf a steht, erhält man, indem man den negativen Kehrwert des Anstiegs von a berechnet.
Anstieg von h = - 1/(-7) = 1/7
Da die Gerade h durch den Punkt (0;0) geht, kann keine Verschiebung entlang der Y-Achse vorliegen => n=0
Also lautet die Gleichung für h
h(x) = 1/7x
Nun gilt es, den Schnittpunkt der Geraden a und h zu bestimmen. Der Betrag des Ortsvektors für den Schnittpunkt ist dann der Abstand der Geraden a vom Punkt (0;0)
a = h
-7x + 42 = 1/7x
42 = 50/7x
x = 5,88
a(5,88) = -7*5,88 + 42 = 0,84
h(5,88) = 1/7*5,88 = 0,84
Für x=5,88 haben beide Funktionen den gleichen Wert (0,84), sie schneiden sich also im Punkt S(5,88;0,84)
Der Betrag des Ortsvektors (5,88;0,84):
= WURZEL (5,88² + 0,84²) = 5,94
Der Abstand von a zum Koordinatenursprung beträgt also 5,94 Längeneinheiten.
So, ich denke mal, es ist alles richtig :-)
Schönen Tag noch
Justin |
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