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vilandra (Vilandra)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 15:03: | 
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Ich brauche wirklich Hilfe.Hab direkt mehrere Aufgaben und weiß bei keiner 100% wie sie geht.Hoffe jemand kann mir wenigstens bei einer helfen.Also..
1)Gegeben ist P1(5/-12).Wie heißt die Gerade,die durch P1 geht und den Abstand (Strecke von)0P1 vom Nullpunkt hat?
2)Abstand des Punktes zur Geraden:
g:7x+24y-100=0 P(5/10)
3)Eine Gerade gehe durch P1 und P2.Wie weit ist P3 von ihr entfernt? P1 (4/3),P2 (18/-4),P3 (5/10)
Was muss ich machen?!? |
GLÖSER
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 20:49: |
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Also, da die Gerade den Abstand wie der Punkt (5/-12) zum Ursprung haben soll, steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht auf den Vektor (5/-12). Damit ergibt sich, dass das Vektorprodukt des Richtungsvektors von g mit (5/-12) den Vektor (0/0) ergeben soll, und damit folgend zu lösende Gleichung(en):
Der Richtungsvektor u bestehe aus den Komponenten u1 und u2, d h. u=(u1 / u2). Dann stehen u und der Vektor (5/-12) senkrecht aufeinander, falls das Vektorprodukt (0/0) ist, also gilt:
I. 5*u2-(-12)*u1=0 <=> u2=(12/5)*u1
(II. -12*u1-5*u2=0)
Damit ist der Richtungsvektor deiner Geraden gegeben durch Beispielsweise u=(5/12)
(beachte: Richtungsvektoren der Geraden sind linear abhängig, d. h., es reicht, einen anzugeben, also wähle z.B.u1=1, setze in die Gleichung ein, und du erhältst u2, und damit u)
Da (5, -12) auf g liegen soll, ist g geben durch:
g: x = r * (5/12) + (5/-12)
(Denn für r=0 ist x=(5/-12))
Beachte hierbei, dass x ein Zweikomponentenvektor aus dem R2 ist, r eine reelle Zahl und ich die Schreibweise (5/-12) gewählt habe für den Vektor mit der x1-Komponente 5 und der x2-Komponente 12.
Da ich nun keine Lust mehr habe, alles zu berechnen, gebe ich dir die Lösungsstrategie für 2ens vor:
Bestimme die Steigung der gegebenen Geraden durch Auflösen nach y. ( Das ist dann der Faktor vor dem x auf der rechten Seite)
Dieser sei m ( du hast ihn jetzt berechnet). Dann ist die Steigung aller senkrechter Geraden auf g gegeben durch:
h: y=(-1/m)*x + b. (beachte hier m!=0) für alle b aus R
Nun musst du noch b so bestimmen, dass du eine senkrechte Gerade h auf g hast, die den Punkt (5/10) enthält !!!. Du setzt (in Gerade h) y = 10 und x = 5 ein und löst das ganze nach b auf.
Was hast du davon ??? Nun, jetzt hast du eine Gerade, die senkrecht auf g steht und den Punkt (5/10) enthält, also bestimmst du den Schnittpunkt beider Geraden ( durch Gleichsetzung des y-Wertes! von g und h) Dann erhältst du einen Punkt S(s1/s2). Der Betrag des Differenzvektors (s1-5/ s2-10) ist die Wurzel aus ( s1-5)^2 + (s2-10)^2. Das ist der (kürzeste) Abstand des Punktes (5/10) von deiner Geraden.
3. Die Gerade durch P1 und P2 ist:
t: x= r * ((18-4) / (-4-3)) + (4/3)
x ist hierbei wieder ein Zweikomponentenvektor! also x=(x1/x2)
Die Berechnung des Abstandes von P3 zu t geht völlig analog zu 2.
I.
Bestimme senkrechte Gerade d auf t, die den Punkt (5/10) enthält nach obigem Verfahren.
II.
Bestimme den Schnittpunkt dieser senkrechten Geraden d mit h. Bilde den Differenzvektor von (5/10) mit eben diesem Schnittpunkt und berechne dessen Betrag ( den des Differenzvektors).
Beachte übrigens immer, dass zwei Geraden im R2 entweder parallel ( gleich eingeschlossen ) sind oder sich in einem Punkt Schneiden. Unsere schneiden sich, da sie im R2 senkrecht aufeinander stehen. Bevor man jedoch dieses Verfahren zur Berechnung eines Abstandes eines Punktes von einer Geraden verwendet, sollte man immer erst prüfen, ob der Punkt nicht schon auf eben dieser liegt. Denn dann ist der Abstand 0. Das war aber jetzt nicht auf deine Aufgabe bezogen, da ich sie nicht berechnet habe, du sollst schon selber prüfen !!!
Grüsse
Der Geradengleichungslöser |
GLOESER
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 20:55: |
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Oh Sorry, dass muss Differenzvektor des Schnittpunktes S´(s´1/s´2) zu (5/10) heißen, dass wäre dann (s´1-5 / s´2-10).
Grüsse
Geradengleichungslöser |
GLOESER
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 22:30: |
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Sorry, hab dir aber die richtige Lösung nochmal geschickt. 2 Richtungsvektoren stehen natürlich nicht senkrecht aufeinenander, wenn das Kreuzprodukt den Nullvektor ergibt, sondern das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 (aus R) ist !!!
Grüsse
Geradengleichungslöser |
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