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Beitrag |
    
N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 18:21: | 
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Hallo Hans Rudolf,
zu 1)
Dazu kann ich kaum was sagen.
Ich freuhe mich ebenfalls in dir einen kompetenten Kolegen gefunden zu haben der mir weiterhelfen kann.
Über die technischen Neuerungen im Board kann ich keine großen Kommentare abgeben, da mir die von dir geschilderten Tatsachen noch nicht bewusst geworden sind.
Ich halte aber trotzdem das für eine bedenkliche Entwicklung.
zu 2) zu 3) und zu 5)
Ist ja höchst interessant.
Mich würde ja mal die "historische Entwicklung" der Beta- und Gammafunktion interessieren.
Wie kam Euler über die uneigentlichen Integrale zur Definition der Beta und Gammafunktion?
Aus welchen Gründen kam Gauß und (jedenfalls Weierstraß bei der Gammafunktion) zu den Definitionserweiterungen der Funktion von positiven Ganzzahlen auf reellen Zahlen und komplexen Zahlen?
Zu 6)
Ich dachte du könntest mir bei der Reihenentwicklung helfen!
(Schließlich bin ich ja nur ein nach der Pisa-Studie dummer Oberstufenschüler)
zu 4)
Muss ich erstmal verdauen.
Vielleicht äußere ich mich nochmal dazu.
Gruß N.
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N.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 19:26: |
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Hi Megamath,
hier ein Link zu der Eulerischen Idendität:
http://fsmat.htu.tuwien.ac.at/~atrax/data/AnalysisIII/node112.html#12583
Vielleicht kannstb du diese 3 Beweisansätze kommentieren.
Gruß N. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 21:32: |
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Hi Niels,
Aus einem ältern Lehrbuch der Integralrechnung führe ich
Dir einen Beweis der von L. Euler stammenden Beziehung,
der sogenannten Hauptformel aus der Theorie der Betafunktion,
vor
B(p,q) = Gamma(p)*Gamma(q) / Gamma(p+q)
wobei gilt:
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Diesen Beweis, der ganz im Gebiet der reellen Analysis abläuft,
möchte ich Dir hier mit ein paar geringfügigen Aenderungen
entwickeln.
1:Teil
°°°°°°
In diesem erste Teil wird das Kommutativgesetz bezüglich
der Parameter p , q nachgewiesen .
Es gilt:
B(p,q) = B(q,p)…………………………………………………(K)
°°°°°°°°°°°°°°°°
Im Integral für B(p,q) führen wir die Substitution aus::
x = s / (1+ s), also 1 – x = 1 / (1+s) , s = x / (1-x )
dx = ds / (1 + s) ^ 2
Aus dem obigen Integral wird nach kurzer Rechnung
B(p,q) = int [s ^ (p – 1 ) /{ (1+s)^(p+q) } * ds ]…………………(1)
untere Grenze des Integrals 0, obere Grenze unendlich.
Das Ziel besteht darin, aus dem Integral mit der unteren
Grenze null und der obern Grenze unendlich ein solches
mit der untern Grenze null und der obern Grenze 1
herzustellen.
Dies lässt sich so bewerkstelligen:
Wir schreiben (1) als Summe zweier Integrale:
Erstes Integral J1: untere Grenze 0,obere 1
Zweites Integral J2: untere Grenze 1,obere unendlich
Der Integrand ist beide Male derselbe wie in(1),nämlich
s ^ (p – 1 ) /{ (1+s)^(p+q) } * ds
Im zweiten Integral J2 substituieren wir
s =1/u , somit ds = - du / u^2
Neue untere Grenze : u = 1 , obere Grenze u = 0
Diese Grenzen werden vertauscht ; zur Kompensation
wird das Minuszeichen bei ds unterdrückt;
J2 lautet nun
J2 = int[ u^(q-1)/(1+u)^(p+q) * du.
untere Grenze u = 0, obere Grenze u =1
Zusammenfassung zu einem Integral:
B(p,q) = int [{s ^ (p – 1) + s ^ (q - 1)} /{(1+s)^(p+q)}*ds ]…………… (2)
untere Grenze des Integrals s = 0 , obere Grenze s =1.
Dieses Integral ändert sich nicht, wenn p und q vertauscht
werden,
womit (K) bewiesen ist.
Zweiter Teil
°°°°°°°°°°°°
Herstellung und Berechnung eines Doppelintegrals
Wir formen das Integral für Gamma(p) = G (p)
= int [ e^(-x) * x ^ (p-1) * dx ]
untere Grenze x = 0, obere Grenze x = unendlich um,
indem wir mit a>1 folgendermassen substituieren:
x = a z , dx = a dz; es entsteht;
G (p) = a^p * int [e^(-az) *z^(p-1)] oder
1 / a^p = 1 / G(p) * int [e^(-az) *z^(p-1) ]
für die Integrale gilt :
untere Grenze z = 0, obere Grenze z = unendlich
Wir ersetzen darin a durch (1+x) und p durch p+q und erhalten:
1/(1+x)^(p+q) = 1 / G(p+q) * int [ e^ {-(1+x)*z} * z^(p+q-1) dz ]....... (3)
Nun werden beide Seiten der Gleichung (3) mit x^(p-1) * dx
multipliziert und alsdann wird beiderseits bezüglich x in den
Grenzen x = 0 bis x = x1 integriert ; rechts entsteht ein Doppelintegral,
auf das wir sofort näher eingehen werden.
int[x ^(p-1)*dx / (1+x)^(p+q)] (von 0 bis x1)=
1/G(p+q) * int [dx int [ x^(p-1) e^ {-(1+x)*z} * z^(p+q-1) dz ]]....…….(4)
Grenzen im Doppelintegral rechts:
erstes Integral: untere Grenze 0 ,obere Grenze unendlich
zweites Integral : untere Grenze 0 , obere Grenze x1.
Da alle diese Grenzen konstant sind, darf die Reihenfolge
der Integrationen ohne weiteres vertauscht werden.
Dadurch entsteht aus (4) folgendes:
int[x ^(p-1)*dx / (1+x)^(p+q)] (von 0 bis x1)=
1/G(p+q) * int [e^(-z)*z^(p+q-1)*dz int [ x^(p-1) e^ {-x*z) * dx ]]...…(5)
Grenzen rechts für z : 0 bis unendlich, für x : 0 bis x1
Nun vollziehen wir den Grenzübergang: x1 strebt gegen unendlich;
Die linke Seite der Gleichung (5) strebt gegen das Integral
int[x ^(p-1)*dx / (1+x)^(p+q)] (von 0 bis unendlich) und stellt
somit nach Gleichung (1) B(p,q) dar.
Was wird nun aus dem Integral in x des Doppelintegrals der
Gleichung (5), wenn x1 gegen unendlich strebt ?
Antwort:
Es entsteht H= int [e^( - x z)* x^(p-1)* dx , Grenzen jetzt 0 ,unendlich.
In diesem Integral substituieren wir x * z = v, dx = dv / z ,mithin
H = 1 / z^p * int [e^(-v)*v^(p-1)*dv = 1 / z^p * G( p), BRAVO!
Aus Gleichung (5) erhalten wir:
B(p,q) = G(p)/G(p+q) * int[e^(-z) z^(q-1) dz = G(p)*G(q)/G(p+q),
was zu zeigen war.
Weiter Beiträge zum Thema von Fall zu Fall
in lockerer Folge !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Niels
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 13:19: |
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Hi Hans Rudolf,
ich habe meinen Beitrag wie gewünscht reaktiviert.
Ich freue mich auf deinen Beitrag und bleibe bei diesen interessanten Tema am Ball.
Ein weiterer Punkt wäre die Frage, ob es analoge Beziehungen bei der Betafunktion gibt.
Viele Grüße
Niels
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. März, 2002 - 13:50: |
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Hi Niels,
Es folgen einige Ergänzungen zu meinen früheren Beiträgen
zur Gammafunktion.
(I)
Zur Hauptformel aus der Theorie der Betafunktion
B( p , q ) = [ G(p) * G(q) ] / [G( p + q ) ] .........................................(a)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die von Dir unter “Beispiel 4.3.27“ zitierte Herleitung
stimmt inhaltlich im wesentlichen mit der von mir präsentierten
überein, nur ist die letztere viel ausführlicher.
(II)
Die Herleitung der Formel
S = int [x^(p-1) / (1+x) * dx ] = Pi / sin(p*Pi)…………………… (b)
mit Mitteln der reellen Analysis ist wohl möglich,
erweist sich aber als sehr umständlich .
Wir gehen nicht darauf ein, obwohl sich damit
– wie früher gezeigt -
die Formel des Ergänzungssatzes sehr elegant beweisen lässt.
Dieser Satz lautet bekanntlich so
G(p)*G(1-p) = Pi / sin(p*Pi)…………………… …………………(c)
Unter Ziffer (V) skizziere ich den üblichen sehr instruktiven
funktionentheoretischen Beweis des Ergänzungssatzes.
(III)
Einige historische Reminiszenzen.
Geburtsdatum der Gammafunktion.13.Oktober 1729 (!)
Die Einführung der Gammafunktion beruht auf dem Bestreben ,
die zahlentheoretische Funktion n ! auf reelle und sogar auf
komplexe Argumente zu erweitern.
Auf eine entsprechende Anfrage seines Freundes
Christian von Goldbach (1690- 1764), den wir von der Zahlentheorie
her kennen, antwortete Leonhard Euler (1707-1783) im Jahr 1729
im Alter von erst 22 Jahren spontan durch Angabe des Integrals
G(p) = int [e^(-t) * t^(p -1) *dt ]
und anderer Formen der Gammafunktion.
Hauptsache war: die Funktion erfüllt die Funktionalgleichung
G( p+1) = p * G(p) ………………………………………………..(d)
und sie hat weitere erwünschte Eigenschaften.
(IV)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ging bei seinen Untersuchungen,
bei denen auch komplexe Argumente z ausgiebig zum Zug kamen,
von der Grenzwertdarstellung aus ( limes für n gegen unendlich):
Gamma (z) = lim [ n!*n^z /{(z*(z+1)*(z+2)…*(z+n)}]..................(E)
Von Gauss stammt auch eine Darstellung mittels
eines unendlichen Produktes.
Bemerkenswert ist die Tatsache, dass die Formel (E) schon
Euler bekannte war (daher die Bezeichnung mit E !).
(V)
Anwendung der Funktionentheorie zur Herleitung
des Ergänzungssatzes.
(1)
Die Gültigkeit der Funktionalgleichung (d)
G(z +1) = z * G(z) lässt sich leicht bestätigen .
Wir erhalten sofort:
G(z +1) / G(z) = lim [n*z / (z+n+1)] = z .
(Grenzwert im Sinn n gegen unendlich)
(2)
Der Term T(z,n) = {(z*(z+1)*(z+2)…*(z+n)}/( n!*n^z)
lässt sich so umformen:
T = e ^ [(1+1/2+1/3+...+1/n – ln n )z]*z*{(1+z)e^(-z))}*...{(1+z/n)e^-(z/n)}
Da für n gegen unendlich 1+1/2+1/3+...+1/n – ln n
gegen die so genannte Euler-Mascheronische Konstante C strebt,
(schon wieder Euler !) und da das Produkt
product[(1+z/n)*e^(-z/n); n=1..infinity ] eine ganze Funktion darstellt,
so ist
1/G(z) = e^(C*z) *z * product[(1+z/n)*e^(-z/n) ] eine ganze Funktion.
Die Folge von Gauss ist somit gleichmässig konvergent.
G(z) ist eine meromorphe Funktion ohne Nullstellen .
Sie besitzt an den negativen ganzzahligen z-Werten z = - n
und für z = 0 einfache Pole.
(3)
Berechnung des Residuums beim einfachen Pol z = - n
Da lim [(z+n)*G(z)] = 1/{(-1)^n * n! } gilt , ist dieses Residuum
(-1)^n /n! ; bei z = 0 ist das Residuum 1.
(4)
Vergleich der Funktionen u(z) = G(z) * G(1-z) und
v = Pi / sin (Pi*z).
Da G(z) mit v die Pole z = 0,-1,-2,-3,… gemeinsam hat
und die Pole von G(1-z), nämlich) z = 1,2,3....,ebenfalls mit
denjenigen von v übereinstimmen ,hat das Produkt u
genau dieselben Pole wie v.
Somit ist das Produkt w = sin(Pi*z) * G(z) *G(1-z) eine polfreie,
somit eine ganze Funktion.
Man kann nachweisen ,dass diese Funktion eine Konstante ist und
mit Pi übereinstimmt.
Schlussfolgerung:
G(z) * G(1-z) = Pi / sin(Pi * z)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Dies ist aber gerade der Ergänzungssatz !
Der Kreis hat sich geschlossen und das Kapitel ist
damit (vorläufig) abgeschlossen
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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