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Alex T. (alext)
Mitglied
Benutzername: alext
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. April, 2002 - 20:38: | 
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Probleme bei dieser Aufgabe:
gegeben:
K: [x-(5/5/3)]^2=29
Bestimmen Sie die Tangentialebenen an die Kugel K, auf denen die Gerade AP
mit A (0/0/ vier drittel) liegt!
P ist (5/5/ - sechs zwei drittel)
Berechnen Sie die dazugehörigen Berührpunkte.
Hab da total die Probleme! Bitte nochmal um Hilfe
MFG Alex
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BillyBoy
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 09:38: |
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Hallo Alex,
(ich nehme an -sechs zwei drittel heißt: -20/3)
Tangentialebene an eine Kugel mit Mittelpunkt (a,b,c) und Radius r hat die Gleichung:
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)+(z1-c)(z-c)=r²
dabei ist der Berührungspunkt C = (x1;y1;z1)
unser Beispiel:
Kugel: M=(5;5;3) und r² = 29
Tangentialebene T:
(x1-5)(x-5)+(y1-5)(y-5)+(z1-3)(z-3)=29
In dieser Gleichung sind 3 Unbekannte: x1, y1, z1
glücklicherweise haben wir 3 Bedingungen:
P liegt auf T
A liegt auf T
C liegt auf der Kugel
also
1)
(x1-5)(5-5)+(y1-5)(5-5)+(z1-3)(-20/3-3) = 29 .....[1]
daraus schon z1 = 0
2)
(x1-5)(0-5)+(y1-5)(0-5)+(z1-3)(4/3-3) = 29 ....... [2]
3)
(x1-5)²+(y1-5)²+(z1-3)²=29 .......... [3]
Aus [1], [2], [3] errechnen wir zwei Lösungen:
x1= 13/5-1/5*sqrt(106) = 0,540...
y1= 13/5+1/5*sqrt(106) = 4,659...
z1 = 0
und
x1 = 13/5+1/5*sqrt(106) = 4,659...
y1 = 13/5-1/5*sqrt(106) = 0,540...
z1 = 0
Diese Koordinaten des Berührungspunktes in die obige Gleichung der Tangentialebene eingesetzt ergibt dann:
4,459x + 0,3408y + 3z = 4
und
0,3408x + 4,459y +3z = 4
für die gesuchten Gleichungen der beiden Tangentialebenen (falls ich mich nicht verrechnet habe).
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. April, 2002 - 22:23: |
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Hi BillyBoy,
Ich habe Deine Berechnungen nachvollzogen und als
vollkommen richtig befunden.
Meine Anerkennung für die souveräne Art
der Herleitung des Resultats.
Für Alex wäre vielleicht wünschbar, dass er die drei
Gleichungen zur Berechnung der Koordinaten x1,y1,z1
des Berührungspunktes P1 einer Tangentialebene,
die durch die Gerade g geht, in einer Zusammenstellung
serviert bekommt; diese drei Gleichungen lauten:
z1 = 0
5 x1 + 5 x2 = 26
(x1-5)^2 + (y1-5)^2 +(z1-3)^2 = 29
Zum Dessert offerieren
wir ihm in extenso die alles entscheidende quadratische
Gleichung zur Berechnung von x1, nämlich:
25 x1^2 – 130 x1 + 63 = 0 samt Auflösung wie geschehen
Für meine Wortmeldung gibt es jedoch einen andern,
gewichtigeren Grund.
Ich möchte eine Lösung der Aufgabe vorführen, die
hierzulande erwiesenermassen wenig bekannt ist
und jedenfalls sehr selten zum Zug kommt.
Gemeint ist der Einsatz der Gleichung eines
Ebenenbüschelsmit der gegebenen Geraden g als
Achse und der Anwendung der Hesseschen
Abstandsformel .
Bei dieser Methode erscheinen die Koordinaten des
Berührungspunktes nicht explizit.
Zuallererst ermittelt man zwei an und für sich
beliebige Ebenen E1 und E2, welche durch g gehen und
somit zum Büschel gehören und dieses bestimmen.
Mit Vorteil wählt man projizierende Ebenen, d.h.
Ebenen ,welche zu einer bestimmten Koordinatenebene
senkrecht sind , z.B.
E1 senkrecht zur (x,y)-Ebene,
E2 senkrecht zur (x,z)-Ebene
Wir gewinnen die Gleichungen dieser Ebenen leicht aus
Einer Parametergleichung von g.
Letztere lautet (mit t als Parameter):
x = 5 t , y = 5 t , z = 4/3 – 8 t
Eliminiert man t aus den beiden ersten Gleichungen,
so erhält man mit
E1 = x – y = 0 eine Koordinatengleichung von E1 .
Eliminiert man t aus der ersten und dritten
Gleichung, so erhält man mit
E2 = 24 x + 15 z - 20 = 0 eine Koordinatengleichung von E2.
Mit Hilfe eines Parameters s schreiben wir die Gleichung
des Büschels so: E1 + s * E2 = 0 , d.h.
x - y + s * (24 x + 15 z – 20) = 0 oder geordnet
(1+24*s) x - y + 15 s z – 20 s = 0 ………….(BE)
Diese Gleichung stellt eine beliebige,von s
abhängige Ebene E des Büschels dar.
Die Normalform NF dieser Ebene lautet:
[(1+24s) x – y + 15 s z – 20 s] / W = 0
mit W = wurzel [(1+24 s)^2 +1^2 + (15s)^2] =
wurzel [ 801 s^2 + 48 s 1+2 ]
Setzt man in der NF für x , y , z die
Koordinaten x = y = 5 , z = 3 des Mittelpunktes M
der Kugel ein,so erhält man mit dem Term der NF
auf der linken Seite den Abstand der Ebene E
vom Mittelpunkt M.
Soll nun diese Ebene E zur Tangentialebene T werden,
so ist dieser Abstand gerade plus minus r
mit r = wurzel(29) zu setzen.
Setzen wir diese Idee um, so erhalten wir für den
Parameter s die Wurzelgleichung
[(1+24s)* 5 – 5 + 15 s * 3 – 20 s] / W = (+-) wurzel(29)
Man quadriert und vereinfacht, bis man eine quadratische
Gleichung für s bekommt; diese lautet:
38 * s^2 + 24 s + 1 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Lösungen lauten:
s1 = [-12 + wurzel(106)] / 38 ~ - 0,044852
s2 = [-12 - wurzel(106)] / 38 ~ - 0,586727
Wir berechnen die Näherungswerte für 24 s,15 s und – 20 s
getrennt für s1 und s2 und setzen die Werte in die Gleichung
(BE) ein. Die Gleichungen der Tangentialebenen sind:
T1: 0,07644 x + y + 0,672777 z = 0,897037
T2 :13,08145 x + y + 8,80091 z = 11,734542.
Multipliziert man beide Seiten von T1 mit 4,459..
und von T2 mit 0.3408 ,
so erhält man die Gleichungen von BillyBoy
BRAVO !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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