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The (thehans)
Neues Mitglied
Benutzername: thehans
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. April, 2002 - 18:28: | 
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Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P, der zur Spitze des Tangentialskegels gehört, dessen Berührkreis die Kugel K in der Ebene E schneidet.
k: (x -(2/1/3))^2 = 16
E: x*(1/3/3)-30 = 0
Das Buch hat unter das Bild folgende Bemerkung:
(a+M1M2)/a = r2/r1 - das ist Strahlensatz
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 11:23: |
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Hi The,
Als Hilfsfigur zur Lösung Deiner Aufgabe
skizzieren wir einen Achsenschnitt des
Berührungskegels und bestimmen den Abstand
v der Spitze P des Berührungskegels vom
Mittelpunkt M der Kugel, welche bezüglich
des Kegels die Rolle einer Inkugel spielt.
Die Gerade PM ist Kegelachse, durch die
wir eine beliebige Ebene, welche den
genannten Achsenschnitt erzeugt, legen.
Diese Ebene schneidet die Kugel in einem
Kreis vom Radius R = 4 ,welcher mit dem
gegebenen Kugelradius übereinstimmt.
Die Schnittmantellinien der Ebene mit dem Kegel
sind zwei von P aus gehende Kreistangenten.
Die Berührungspunkte seien mit A und B
bezeichnet.
Die Kreissehne AB schneide die Gerade PM
im Punkt N.
Die Länge der Strecke MN sei mit u bezeichnet,
die Länge der Strecke NA (=NB) mit r.
Beachte nun:
r ist der Radius des in der Aufgabe genannten
Schnittkreises, N dessen Mittelpunkt; die
Ebene dieses „Kleinkreises“ geht durch N und
steht zur Kegelachse PM senkrecht.
Im rechtwinkligen Dreieck PAM
(rechter Winkel bei A) schreiben wir den
Kathetensatz bezüglich der Kathete MA an.
Es gilt:
(MA) ^ 2 = M P* MN, also
R^2 = v * u, somit
v = R^2 / u = 16 / u......................................................(1)
Berechnung von u mit der Abstandsformel
von Hesse !
Gleichung der Kreisebene E in Normalform:
[ x + 3 y + 3z - 30 ] / wurzel(1^2+3^2+3^2) = 0 oder
[ x + 3 y + 3z – 30 ] / wurzel (19) = 0 .
Setzt man für x , y , z die Koordinaten von
M(2/1/3) ein, so erhält man als
Abstand des Punktes N von der Ebene E :
- 16 / wurzel (19); die gesuchte Länge der Strecke
NM = u ist der absolute Betrag dieses Abstands, also:
u = 16 / wurzel (19);
mit Formel (1) gewinnen wir:
v = wurzel (19).............................................................(2)
Trägt man die Strecke MP = v = wurzel(19) in der
richtigen (!) Richtung auf der Kegelachse von M aus ab,
so erhält man als Endpunkt P die gesuchte Kegelspitze P
Ergebnis: P(3 / 4 / 6 )
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Beachte : die Kegelachse ist die durch M gehende
Normale der Ebene E..
Eine Parametergleichung dieser Ebennormalen lautet
x = 2 + t
y = 1 + 3t
z = 3 + 3t
Verwendet man als Richtungsvektor a statt
a ={1;3;3}den gleichgerichteten Einheitsvektor
e = 1 / wurzel(19) * a , so lässt sich die Strecke
v = wurzel(19) problemlos auf der Geraden abtragen,
und man erhält das genannte Resultat.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 21:04: |
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Hi The,
Wenn Dir die Polarentheorie für die Kugel zur
Verfügung steht,
kannst Du Deine Aufgabe ohne Umschweife lösen,
nämlich so:
Die gesuchte Kegelspitze P des Tangentialkegels ist der
Pol zur Ebene des Berührungskreises als Polarebene
bezüglich der gegebenen Kugel.
Die Gleichung der Kugel lautet:
(x - 2) ^ 2 + (y -1) ^ 2 + (z - 3) ^ 2 = 16
Die bezüglich dieser Kugel zum Punkt P(x1/y1/z1)
gehörige Polarebene E hat die Gleichung
(x1-2 )*(x- 2) + (y1-1)*(y-1) + (z1-3)*(z-3) = 16 …..(Po)
oder geordnet :
(x1-2)*x +(y1-1)*y+(z1-3)*z = 16 +2x1-4+y1-1+3z1-9,
vereinfacht :
(x1-2)*x +(y1-1)*y+(z1-3)*z =2x1 +y1+3z1+ 2.....(E1)
Wenn diese Ebene mit der gegebenen Ebene
x +3y +3z = 30…………………………………….(E2)
identisch sein soll, müssen alle Koeffizienten
in den beiden Ebenengleichungen proportional sein,
das heisst, es muss die fortlaufende Proportion
gelten:
(x1-2 ) / 1 = (y1-1) / 3 = (z1-3) / 3 = (2x1+y1+3z1+2) / 30
Aus diesen drei linearen Gleichungen berechnet man
leicht die Koordinaten des Pols P :
x1 = 3 , y1 = 4, z1 = 6
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Dieses Resultat stimmt mit demjenigen überein, das wir
mit der ersten Methode berechnet haben.
Anmerkung
Von zwei Ebenen E1 und E2 seien die
Koordinatengleichungen gegeben :
E1: a1 * x + b1 * y + c1* z = d1
E2: a2 * x + b2 * y + c2* z = d2
Es gelten die Sätze:
1.
E1 und E2 sind parallel, wenn die Proportion
a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 erfüllt ist.
2.
E1 und E2 sind identisch (fallen zusammen),
wenn die Proportion
a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 = d1 : d2 erfüllt ist.
Diese zweite Bedingung ,die man auch so schreiben kann:
a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2 = d1 / d2 ,
wurde bei der obigen Lösung in die Tat umgesetzt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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