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Alex T. (alext)
Mitglied
Benutzername: alext
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. April, 2002 - 19:43: | 
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2 Geraden sind gegeben:
g: x=(2/1/-3)+r*(1/-2/a) und
h: x=(5/-2/1) + s*(2/-1/-1)
Es gibt genau ein a, sodass sich die Geraden g und h in einem Punkt schneiden.
Hab ich mich Gauss gemacht und a=5 herausbekommen. Geht das auch anders?(einfacher)
Jetzt der schwierige Teil: Ermitteln Sie eine Gleichung der Winkelhalbierenden des Schnittwinkels dieser beiden Geraden.
Bitte um Hilfe. DANKE
MFG |
juergen
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 10:38: |
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Hallo Alex,
es geht nur insofern schneller/einfacher, wenn Du eine fertige Gleichung für den Abstand zweier Geraden als bekannt vorausetzt (sie steht bestimmt in Deiner Formelsammlung). Die Bedingung, daß der Abstand zweier sich schneidender Geraden gleich null ist, führt Dich dann recht schnell auf eine lineare Gleichung in der Unbekannten a.
Die Lösung a = 5 ist richtig.
Der "schwierige Teil": Ich benutze folgende Schreibweise:
v.u bedeute das Skalarprodukt der Vektoren v und u (das ist eine Zahl), und vxu bedeute das Vektorprodukt der beiden Vektoren, also wieder ein Vektor, der senkrecht auf v und u steht.
Betrag(v) = Wurzel(v.v)
ug sei der Richtungsvektor der Geraden g, und uh sei der Richtungsvektor der Geraden h
Folgende Schritte führen zum Ziel:
1.) Bestimme den Schnittpunkt zwischen g und h. Damit hast Du schon einmal den Aufpunktsvektor der gesuchten Winkelhalbierenden.
Was Dir noch fehlt, ist der Richtungsvektor der Winkelhalbierenden, ich bezeichne ihn mit w und setze ihn als Einheitsvektor an, also
Betrag(w) = 1.
2.) Berechne den Schnittwinkel von g und h gemäß
cos(phi) = (ug.uh)/(Betrag(ug)*Betrag(uh))
Damit hast Du auch phi/2, den Winkel, den die Winkelhalbierende mit den beiden Geraden einschliesst.
Jetzt muss gelten (beachte w ist Einheitsvektor):
3.) cos(phi/2) = (w.ug)/Betrag(ug)
4.) cos(phi/2) = (w.uh)/Betrag(uh)
5.) w.(ugxuh) = 0
Die letzte Bedingung folgt aus der Tatsache, daß die Winkelhalbierende in der Ebene liegen muss, die von g und h aufgespannt wird. Damit ist der Vektor ugxuh senkrecht zum Vektor w, d.h. das Skalarprodukt beider ist identisch Null.
Mit 3.), 4.), 5.) hast Du drei Bedingungen für die unbekannten drei Komponenten von w, viel Spass beim Lösen des linearen Gleichungssystems
J. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. April, 2002 - 14:16: |
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Hi Alex,
Ich zeige Dir einfache Wege, die zur Lösung
Deiner Aufgabe führen.
Insbesondere ist es Ehrensache, die zweite
Teilaufgabe ohne die Ermittlung des ganzen
und halben Schnittwinkels zu lösen.
Fangen wir vorne an.
Erste Teilaufgabe
Die x-, y- und z-Werte, die man den skalaren
Parametergleichungen der beiden Geraden
g und h entnimmt, setzt man paarweise gleich;
man erhält drei Gleichungen zur Ermittlung der
Parameterwerte r und s, die den Schnittpunkt S
von g und h bestimmen sowie den gesuchten
numerischen Wert für a.
Die Gleichungen lauten:
2 + r = 5 + 2 s
1 – 2 r = - 2 – s
- 3 + a r = 1 - s
Die Lösungen sind: a = 5 (wie mehrfach erwähnt)
und r = 1 , s = - 1 ; jeder dieser Parameterwerte
führt auf den Schnittpunkt
S(3 /- 1/ 2)
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Zweite Teilaufgabe
Lösungsidee:
Aus dem Richtungsvektor u ={1;-2;5} von g
stellen wir auf eine bekannte Art einen Einheitsvektor
u1 mit derselben Richtung her, indem wir u mit dem
Reziprokwert seines Absolutbetrages wurzel (30)
multiplizieren;
es entsteht der neue Richtungsvektor von g mit
Betrag eins:
u1 = 1/wurzel(30)*{1;-2;5}=
{1/wurzel(30);-2/wurzel(30);5/wurzel(30)}.
Analog verfahren wir mit dem Richtungsvektor
v ={2;-1;-1}von h und stellen für h den
Richtungseinheitvektor v1 her :
v1 = 1/wurzel(6)*{2;-1;-1}=
{2/wurzel(6);-1/wurzel(6);-1/wurzel(6)}.
In einer Skizze tragen wir diese Einheitsvektoren
u1 und v1 von S aus auf den entsprechenden Geraden
g und h ab und bezeichnen den Endpunkt von
u1 auf g mit G, von v1 auf h mit H und ergänzen
das Dreieck SGH zum Parallelogamm SGWH
mit den parallelen Seitenpaaren SG, HW einerseits
und SH,GW andrerseits.
Wesentlich ist nun :
Dieses Parallelogramm ist sogar ein RHOMBUS,
weil die Seiten SG und SH wegen der Normierung
der Richtungsvektoren dieselbe Länge,
nämlich die Länge eins, haben.
Folgerung:
Die Vektorsumme w = u1 + v1 liegt auf
der Winkelhalbierenden SW des Winkel alpha
von g und h bei der Ecke S des Rhombus.
Somit ist w ein Richtungsvektor der gesuchten
Winkelhalbierenden.
Mit dem Differenzenvektor d = u1 – v1
erhalten wir einen Richtungsvektor der zweiten
Winkelhalbierenden.
Aus der Planimetrie wissen wir, dass diese beiden
Winkelhalbierenden aufeinander senkrecht stehen,
was sich auch für unser Beispiel bestätigen lässt.
Rechnerische Durchführung
Koordinaten des Richtungsvektors w der ersten
Winkelhalbierenden durch Addition der entsprechenden
Koordinaten von u1 und v1
x-Koordinate:
1/wurzel(30) + 2/wurzel(6) =
= [wurzel(6) + 2 wurzel(30)] / wurzel (180) =
= [1 + 2 wurzel(5) ] / wurzel (30)
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y-Koordinate:
-2/wurzel(30) – 1 /wurzel(6) =
= [- 2wurzel(6) – wurzel(30)] / wurzel (180) =
= [- 2 - wurzel(5) ] / wurzel (30)
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z-Koordinate:
5/wurzel(30) - 1/wurzel(6) =
= [5 wurzel(6) – 1 wurzel(30)] / wurzel (180) =
= [ 5 - wurzel(5) ] / wurzel (30)
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Mit Hilfe der Vektordifferenz d = u1-v1 lässt
sich analog ein Richtungsvektor der andern
Winkelhalbierenden berechnen.
Beachte:
Die Orthogonalität der beiden Winkelhalbierenden
ergibt sich kurz und bündig aus dem Skalarprodukt
der Vektoren w und d ; dieses
Skalarprodukt ist null, wie die folgende kleine
und neckische Rechnung zeigt:
w.d = (u1 + v1).(u1 - v1) = u1.u1 – v1.v1 = 1 – 1 = 0
Bravo !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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