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Beitrag |
    
TinaS
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 18:00: | 
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Hi ihr!
Ich habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht klar komme!Könnt ihr mir vielleicht helfen.
Kurvenuntersuchung
F(x)= Wurzel aus 1/x+2
Mit Polstellen und Asymptoten
Danke
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ysanne (ysanne)
Moderator
Benutzername: ysanne
Nummer des Beitrags: 104
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 18:59: |
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Wenn du dann auch noch sagst, ob es
Wurzel(1/x)+2 ist, Wurzel(1/(x+2)) oder Wurzel((1/x) + 2), dann kann man dir auch noch antworten.
Wo liegt eigentlich das Problem? Ist doch einfach Nullstellen des Nenners suchen, da sind die Pole, dort Limes machen.
Sonst einfach nur schauen ab wann das Ding unter Wurzel <0 wird, von da bis unendlich geht der Def-Bereich, an deren Rändern Funktion untersuchen (wie überraschend: der eine Rand wird eine Polstelle!).
Nullstellen gibt es eh keine (alles immer positiv).
Ableiten und Nullstellen der Ableitung suchen => Extrema
Nochmal ableiten und NST der 2ten Ableitung nehmen => Wendepunkte
Was ist daran denn so, daß man es nicht selber oder mit seinem Heft zusammen kann?
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Peter (analysist)
Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. April, 2002 - 19:34: |
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Hallo ysanne,
>> Was ist daran denn so, daß man es nicht selber oder mit seinem Heft zusammen kann? <<
Da die Mathematik in sich logisch ist und meistens auch in der Oberstufe deduktiv aufgebaut wird, ist eigentlich fast jedes Problem derart, dass man es mit Unterrichtsunterlagen und Logik lösen kann. Also WEG MIT DEM BOARD, oder wie ist dein aggressiver Ton zu verstehen?
>>Ist doch einfach Nullstellen des Nenners suchen, da sind die Pole, dort Limes machen<<
Ist das mathematische Poesie oder Prosa?
Hallo TinaS,
gib bitte die Funktion mit allen notwendigen Klammern an.
Gruß
Peter
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TinaS
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. Mai, 2002 - 22:18: |
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wurzel aus 1/(x+2)!!
Danke Peter! Bitte schnell antworten!
Bitter erkläre mir mal genau wie man die polstelle ermittelt da ich da noch Probleme habe!
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ysanne (ysanne)
Moderator
Benutzername: ysanne
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 02-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 14:45: |
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Also, ein Pol ist doch, wenn die Funktion gegen unendlich (oder -unendlich) geht, und das passiert doch dann, wenn der Nenner immmer kleiner wird, und schliesslich 0 ist. Vorher schauen wir uns aber an, wo die Funktion ueberhaupt definiert ist:
Wurzeln kann man nur aus positiven Sachen ziehen, also muss das 1/(x+2) unter der Wurzel groesser oder gleich 0 sein. Das passiert genau dann, wenn Zaehler und Nenner das gleiche Vorzeichen haben. Ausserdem darf der Nenner nicht 0 sein. 1 ist von Haus aus positiv, also muss auch x+2 positiv sein:
x+2 > 0
=> x > -2
Also ist die Funktion nur auf ]-2,unendlich[ definiert.
Polstelle suchen: Funktion umformuliert ist so:
Wurzel(1/(x+2)) = Wurzel(1)/Wurzel(x+2) = 1/Wurzel(x+2)
Also ist der Pol da, wo der Nenner Wurzel(x+2)=0 ist:
Wurzel(x+2)=0
=> x+2=0
=> x = -2
Der Pol ist also bei x=-2. Die Funktion ist nur auf der rechten Seite davon definiert, also muessen wir nur den rechtsseitigen Limes an dem Pol betrachten (das +0 heisst, dass man beim Limes von den groesseren, dh rechts liegenden Zahlen herkommt):
lim (x -> -2+0) 1/Wurzel(x+2) = +unendlich, weil
1. Wurzel(x+2) gegen Wurzel(0) = 0 geht, und dabei immer positiv ist, dh. der Bruch 1/Wurzel(x+2) ist auch immer positiv, und
2. geht er gegen unendlich, weil ja der Nenner immer kleiner, und darum der Bruch immer groesser wird.
Wenn was nicht klar drin ist, bitte einfach nachfragen. |
Peter (analysist)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. Mai, 2002 - 15:18: |
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Hallo,
ysanne hat das alles richtig erklärt.
Kleine Anmerkung zunächst sucht man die Defintionslücken bzw. die Ränder des Definitionsbereichs, dann untersucht man das Verhalten des Graphen in der nahen Umgebung der Ränder. Erst dann kann man eigentlich entscheiden, ob es sich um eine Polstelle handelt.
Man unterscheidet Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel. Läuft der Funktionswert von beiden Seiten gegen +unendlich (bzw -unendlich) dann nennt man das eine Polstelle ohne VZW, sind die Vorzeichen unterschieldlich dann Polstelle mit VZW.
Hier können wir ja nur von rechts den Limes bilden.
Asymptoten solltest du auch noch untersuchen:
Asymptoten sind Graphen (oft Geraden), an die sich ein Funktionsgraph bei einem Grenzprozess anschmiegt. Man könnte also hier die Gerade x=-2 (Parallele zur y-Achse) als Asymptote bezeichnen.
Interessant ist die Asymptote vor allem für das Verhalten im Unendlichen.
Betrachten wir:
lim (x -> unendl.) 1/Wurzel(x+2) = 0
Der Radikand (die Zahl unter der Wurzel) wird mit wachsendem x immer größer, für die Wurzel gilt dies auch. Teilt man 1 durch eine unendliche große Zahl, erhält man Null. [Um Routine zu erlangen, kann man ruhig mal Zahlen einsetzen, und mit dem TR rechnen].
Der Funktionsgraph schmiegt sich also im Unendlichen an die x-Achse an. Man kann auch sagen: die Asymptote a(x)=0.
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Kurvendiskussion wird hier relativ einfach:
1) ID=IR>-2
2) Symmetrie zum KO-Sytem kann's daher nicht geben.
3)Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
mit y-Achse
f(0)=1/SQRT(2) => Sy (0/(1/SQRT(2))
mit x-Achse
wurzel aus 1/(x+2)=0 // * wurzel aus (x+2)
Wurzel aus 1=0
1=0 => keine Nullstellen
4) Extremstellen:
Für die ABleitungen schreib ich zunächst mal etwas um (SQRT=WURZEL):
f(x)=wurzel aus 1/(x+2)=SQRT(1/(x+2))=1/SQRT(x+2)
=(x+2)^(-1/2)
ABleitungen nach Kettenregel
f'(x)=-(1/2)(x+2)^(-3/2)=-1/[2(x+2)SQRT(x+2)]
f''(x)=(3/4)(x+2)^(-5/2)=3/[4(x+2)^2SQRT(x+2)]
Dritte Ableitung kann man sich sparen, da weder die erste noch die zweite Ableitung Null werden können; denn:
-1/[2(x+2)SQRT(x+2)]=0 => -1=0 => keine Extremstellen möglich
und
3/[4(x+2)^2SQRT(x+2)]=0 => 3=0 => keine Wendestellen möglich.
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Da es weder Null-, Extrem- noch Wendestellen gibt, ist die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens bei dieser Funktion so wichtig, um sich den Verlauf des Graphen überhaupt klar zu machen.
Gruß
Peter
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